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Chapitre 5.1 : Codage des entiers en hexadécimal⚓︎

A. Le codage hexadécimal⚓︎

A savoir

I. La base hexadécimale⚓︎

Dans la base hexadécimale (base 16) on dispose de 16 symboles pour écrire les nombres.

On utilise les chiffres de 0 à 9 (10 chiffres) que l'on complète avec 6 symboles alphabétiques A, B, C , D E et F pour obtenir les 16 symboles.

L'avantage de la base 16 réside dans sa facilité de conversion depuis et vers la base 2.

De plus, un chiffre en base 16 remplace 4 bits (chiffres en base 2) ce qui les rend plus pratiques à manipuler (moins longs!!!)

Le tableau suivant donne la correspondance décimal, binaire et décimal pour les 16 premier éléments.

Décimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Binaire 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
Hexadécimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

A savoir

II. Conversions décimal-hexadécimal⚓︎

1. Conversion décimal ➡️ hexadécimal⚓︎

On Utilise la méthode des divisions successives comme pour le binaire:

  • On effectue les divisions entières successives du nombre à convertir par 16.
  • On poursuit les divisions jusqu'à obtenir un quotient égal à 0 pour la dernière division.
  • On lit ensuite les restes, en partant du bas en convertissant tous les nombre en hexadécimal.

Exemple : conversion de \((10217)_{10}\)

Conversion par la méthode des divisions successives

Voici les étapes détaillées pour la conversion de 10217 en hexadécimal :

  • Etape 1 : 10217 ÷ 16 = 638 reste 9

    • Quotient : 638
    • Reste : 10217 - 638 × 16 = 9

  • Etape 2 : 638 ÷ 16 = 39 reste 14

    • Quotient : 39
    • Reste : 638 - 39× 16 = 14 (qui est E en hexadécimal)

  • Etape 3 : 39 ÷ 16 = 2 reste 7

    • Quotient : 2
    • Reste : 39 - 2 × 16 = 7

  • Etape 4 : 2 ÷ 16 = 0 reste 2

    • Quotient : 0
    • Reste : 2 - 0 × 16 = 2

2. Conversion hexadécimal ➡️ décimal⚓︎

Pour convertir un nombre hexadécimal en décimal, nous utilisons les puissances de 16. Chaque chiffre hexadécimal est multiplié par 16 élevé à la puissance de sa position, en commençant par 0 pour le chiffre le plus à droite.

Les étapes de conversion sont les suivantes :

  1. Écrire le nombre hexadécimal en notant la position de chaque chiffre, en commençant par 0 pour le chiffre le plus à droite.
  2. Multiplier chaque chiffre par 16 élevé à la puissance de sa position.
  3. Additionner les résultats pour obtenir le nombre décimal.

Exemple

Convertissons le nombre hexadécimal 2A3F en décimal.

\((2A3F)_{16} = (2 × 16^3 + A × 16^2 + 3 × 16^1 + F × 16^0)_{10}\)

\((2A3F)_{16} = (2 × 16^3 + 10 × 16^2 + 3 × 16^1 + 15 × 16^0)_{10}\)

\((2A3F)_{16} = (2 × 4096 + 10 × 256 + 3 × 16 + 15 × 1)_{10}\)

\((2A3F)_{16} = (8192 + 2560 + 48 + 15)_{10}\)$

\((2A3F)_{16} = (10815)_{10}\)

Le nombre hexadécimal 2A3F est égal à 10815 en décimal.

A savoir

III. Conversions binaire-hexadécimal⚓︎

La conversion de nombres hexadécimaux en binaires est une opération courante en informatique et en électronique.

1. Conversion hexadécimal➡️binaire⚓︎

Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, nous convertissons chaque chiffre hexadécimal en un groupe de 4 bits binaires. Chaque chiffre hexadécimal correspond à une combinaison unique de 4 bits.

Exemple : Convertissons le nombre hexadécimal \((A1)_{16}\) en binaire.

Tableau de Conversion

Conversion hexadécimal vers binaire

  1. Découper le nombre hexadécimal chiffre par chiffre.
  2. Convertir chaque chiffre hexadécimal dans son équivalent décimal.
  3. Décomposer chaque chiffre décimal en fonction des puissances de 2 (8, 4, 2 et 1) à l'aide du sous-tableau des puissances de 2.
  4. Convertir chaque chiffre décimal dans son équivalent binaire
  5. Assembler les groupes de 4 bits binaires

En suivant ces étapes et en utilisant le tableau de conversion avec les puissances de 2, vous pouvez facilement convertir n'importe quel nombre hexadécimal en binaire.

2. Conversion binaire ➡️ hexadécimal⚓︎

Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, il faut regrouper les bits en groupes de 4, en commençant par le bit le plus à droite. Chaque groupe de 4 bits correspond à un chiffre hexadécimal.

Exemple : convertissons le nombre binaire \((0011 1110)_2\) en hexadécimal.

Tableau de Conversion

Conversion binaire vers hexadécimal

  1. Découper le nombre binaire en groupes de 4 bits.
  2. Ecrire le sous-tableau des puissances de 2 (8, 4, 2 et 1) sous chaque groupe de 4 bits.
  3. Convertir chaque nombre binaire de 4 bits en nombre décimal.
  4. Convertir chaque chiffre décimal en hexadécimal.

En utilisant le tableau de conversion avec les puissances de 2, vous pouvez facilement convertir n'importe quel nombre binaire en hexadécimal.