Chapitre 13 : Décrire un mouvement 🚀⚓︎

▶️ Capsule : Le cours complet

▶️ Capsule : Le cours complet 2

🌍 I. Référentiel et repères⚓︎

🧠 A savoir

Pour simplifier l'étude du mouvement d'un système, on le réduit à un point matériel, souvent noté M.

Pour décrire le mouvement d'un système, il faut connaitre deux informations :

sa trajectoire : elle nous informe sur la position (les coordonnées) de l'objet au cours du temps
sa vitesse : elle nous informe sur la rapidité avec laquelle l'objet se déplace

On ne peut définir un mouvement que par rapport à un objet de référence : le référentiel.

Il existe des référentiels particuliers et « pratiques » :

🌏 Le référentiel terrestre : constitué par un repère fixé à la surface de la Terre (ou fixe par rapport à la Terre) et utilisé pour étudier le mouvement d'un objet sur la Terre ou au voisinage de celle-ci.
🌐 Le référentiel géocentrique : constitué par un repère fixé au centre que la Terre mais ne tournant pas sur lui-même comme la Terre. Il est utilisé pour étudier le mouvement de la Lune ou des satellites.
☀️ Le référentiel héliocentrique : constitué par un repère fixé au centre du Soleil. Il est utilisé pour étudier le mouvement des planètes.

Un référentiel est toujours associé à un repère d'espace (repère \((O,\ \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\) orthonormé) et un repère de temps (chronomètre).

📍 II. Le vecteur position⚓︎

🧠 A savoir

Pour étudier le mouvement d'un point M dans un référentiel, on définit :

un repère d'espace orthonormé \((O,\ \overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k})\).
un repère de temps : le temps est compté à partir d'une origine à laquelle t = t₀ = 0 s.

La position du solide est alors donnée par son vecteur position \(\overrightarrow{OM}\) à un instant t :

\[\overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} x_{M}(t) \\ y_{M}(t) \\ z_{M}(t) \end{pmatrix} \quad \text{ou encore} \quad \overrightarrow{OM}\begin{pmatrix} x(t) \\ y(t) \\ z(t) \end{pmatrix}\]

La norme du vecteur position est :

\[\boxed{\;\left\| \overrightarrow{OM}(t) \right\| = OM(t) = \sqrt{x(t)^{2} + y(t)^{2} + z(t)^{2}}\;}\]

Dans de nombreux cas on se limite à des mouvements plan en deux dimensions on a alors \(z(t) = 0.\)

🏃 III. Le vecteur vitesse⚓︎

🧠 A savoir

Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) caractérise la variation du vecteur position \(\overrightarrow{OM}\) en fonction du temps :

Le vecteur vitesse moyenne est défini à un instant t_i par :

\[{\overrightarrow{v}}_{moy}\left( t_{i} \right) = \frac{\overrightarrow{M_{i}M_{i + 1}\ }}{t_{i + 1} - t_{i}} = \frac{\Delta\overrightarrow{OM}}{\Delta t}\]

Le vecteur vitesse d'un point mobile à un instant t est caractérisé par :

Sa direction : la tangente à la trajectoire au point considéré
Son sens : celui du mouvement à l'instant t_i
Sa valeur : \(\frac{M_{i}M_{i + 1}}{\Delta t}\) qui s'exprime en mètre par seconde (m.s^–1).

Vecteur vitesse sur une trajectoire — Vecteur vitesse tangent à la trajectoire

La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position par rapport au temps :

\[\boxed{\;\overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{OM}(t)}{dt}\;}\]

Les coordonnées du vecteur vitesse instantanée \(\overrightarrow{v}(t)\) sont :

\[\overrightarrow{v}(t)\begin{pmatrix} v_{x}(t) = \frac{dx(t)}{dt} \\ v_{y}(t) = \frac{dy(t)}{dt} \\ v_{z}(t) = \frac{dz(t)}{dt} \end{pmatrix}\]

La norme (valeur) de la vitesse instantanée est :

\[\boxed{\;\left\| \overrightarrow{v}(t) \right\| = v(t) = \sqrt{v_{x}(t)^{2} + v_{y}(t)^{2} + v_{z}(t)^{2}}\;}\]

▶️ Capsule : Tracer un vecteur vitesse

⚡ IV. Le vecteur accélération⚓︎

🧠 A savoir

Le vecteur accélération caractérise les variations du vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) en fonction du temps. Le vecteur accélération moyenne \({\overrightarrow{a}}_{moy}\left( t_{i} \right)\) à un instant t_i est défini par :

\[{\overrightarrow{a}}_{moy}\left( t_{i} \right) = \frac{{\overrightarrow{v}}_{i + 1} - {\overrightarrow{v}}_{i}}{t_{i + 1} - t_{i - 1}} = \frac{\Delta\overrightarrow{v}(t_{i})}{\Delta t}\]

Le vecteur accélération \({\overrightarrow{a}}_{moy}\left( t_{i} \right)\) d'un point mobile à un instant t est caractérisée par :

Sa direction : identique à celle du vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}(t_{i})\) au point considéré
Son sens : identique à celui du vecteur \(\Delta\overrightarrow{v}(t_{i})\) à l'instant t_i
Sa valeur : \(\frac{\Delta v}{\Delta t}\) qui s'exprime en m.s^–2.

L' accélération instantanée est la dérivée du vecteur vitesse par rapport au temps :

\[\boxed{\;\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}(t)}{dt}\;}\]

Les coordonnées du vecteur accélération instantanée \(\overrightarrow{a}(t)\) sont :

\[\overrightarrow{a}(t)\begin{pmatrix} a_{x}(t) = \frac{dv_{x}(t)}{dt} \\ a_{y}(t) = \frac{dv_{y}(t)}{dt} \\ a_{z}(t) = \frac{dv_{z}(t)}{dt} \end{pmatrix}\]

La norme (valeur) de l'accélération instantanée est :

\[\boxed{\;\left\| \overrightarrow{a}(t) \right\| = a(t) = \sqrt{a_{x}(t)^{2} + a_{y}(t)^{2} + a_{z}(t)^{2}}\;}\]

Le vecteur accélération est colinéaire et de même sens que le vecteur variation de vitesse déjà vu en première.

Rappel de première 🔙

Sur l'enregistrement de la trajectoire ci-dessous, le vecteur variation de vitesse \(\overrightarrow{\Delta v_{5}} = \overrightarrow{\Delta v_{4 \rightarrow 5}}\) :

se construit comme la différence vectorielle \(\overrightarrow{v_{5}} - \ \overrightarrow{v_{4}}\)
a pour origine le point M₅
est colinéaire et de même sens que la somme des forces appliquées au système \(\Sigma\overrightarrow{F} = m \times \frac{\Delta\overrightarrow{v}}{\Delta t}\)

Variation du vecteur vitesse et somme des forces

▶️ Capsule : Position, vitesse et accélération exemple 1

▶️ Capsule : Position, vitesse et accélération exemple 2

🔀 V. Les différents types de mouvement⚓︎

🧠 A savoir

➡️ 1) Le mouvement rectiligne⚓︎

Un mouvement est rectiligne si la trajectoire du système est une droite.

Dans ce cas, les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) et accélération \(\overrightarrow{a}\) gardent la même direction, celle de la trajectoire.

Si \(\overrightarrow{a} = \overrightarrow{0}\) : Le vecteur vitesse est constant et le mouvement est rectiligne uniforme. 🟰
Si \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont de même sens : La norme du vecteur vitesse augmente, son sens et sa direction restent les mêmes ; le mouvement est rectiligne uniformément accéléré. ⏩
Si \(\overrightarrow{a}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont de sens opposés : La norme du vecteur vitesse diminue, son sens et sa direction restent les mêmes ; le mouvement est rectiligne uniformément ralenti. ⏪

Mouvements rectilignes — Les différents mouvements rectilignes

▶️ Capsule : Mouvement rectiligne et accélération

🔄 2) Le mouvement circulaire⚓︎

Un mouvement est circulaire si la trajectoire étudiée est représentée par un cercle (ou un arc de cercle). Dans ce cas, le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) est toujours tangent à la trajectoire et dans le sens du mouvement.

Mouvement circulaire uniforme 🟰🔄

Si la valeur de la vitesse est constante (v = cste), la norme du vecteur vitesse reste constante : le mouvement est circulaire uniforme.
Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) reste tangent à la trajectoire et le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est dirigée selon un rayon du cercle
Les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) et accélération \(\overrightarrow{a}\) sont perpendiculaires.
Aucun des deux vecteurs n'est constant : leur direction varie continuellement.

Mouvement circulaire non uniforme 🔄📈📉

Si la valeur v de la vitesse varie, la norme du vecteur vitesse varie.

Le vecteur vitesse \(\overrightarrow{v}\) reste tangent à la trajectoire et le vecteur accélération \(\overrightarrow{a}\) est toujours dirigé vers l'intérieur de la trajectoire.

Les vecteurs vitesse \(\overrightarrow{v}\) et accélération \(\overrightarrow{a}\) sont quelconques et varient au cours du temps.

On peut alors distinguer deux cas :

Si la valeur de la vitesse augmente : le mouvement est accéléré. Les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{a}\) forment un angle plus petit que 90°.

Si la valeur de la vitesse diminue : le mouvement est ralenti. Les vecteurs \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{a}\) forment un angle plus grand que 90°.