Chapitre 0 : Incertitudes⚓︎

I - Qu’est-ce qu’une incertitude ?⚓︎

A savoir

Lorsqu’on réalise la mesure d’une grandeur physique (par exemple : l’intensité notée \(I\), la masse notée \(m\), …) la valeur de la mesure n’est jamais parfaite.

En effet, il existe toujours des erreurs de mesures.

Ces erreurs peuvent être dues :

à l’instrument de mesure (défaut d'étalonnage, défaut de calibrage, de zéro d'un appareil…),
à l’opérateur (erreur dans la lecture d'une indication, erreur de méthode…),
ou à la variabilité de la grandeur mesurée.

Pour estimer la qualité d’une mesure, on lui associe une incertitude type de mesure : c’est un paramètre qui caractérise la dispersion des valeurs autour de la valeur exacte et qui reflète l’impossibilité de connaître exactement cette valeur.

Lors de la mesure d’une grandeur \(G\), l’incertitude type est notée \(u(G)\) et a la même unité que la grandeur mesurée.

II - Incertitude de type A⚓︎

A savoir

▶️ Capsule : Calcul d’une incertitude de type A

Lorsqu’un même opérateur répète plusieurs fois, dans les mêmes conditions, le mesurage d’une même grandeur, les valeurs mesurées peuvent être différentes. On parle alors d’erreur de mesure aléatoire.

L’incertitude associée est une incertitude de répétabilité dite de type A. Celle-ci est évaluée par des méthodes statistiques et est issue de l’exploitation d’un nombre important de valeurs mesurées. Pour une série de \(N\) mesures d’une même valeur \(x\) :

1️⃣ La valeur mesurée retenue est la moyenne des \(N\) valeurs, notée \(\bar{x}\).

2️⃣ L’incertitude-type \(u(x)\) de la moyenne se calcule par la relation :

\[u(x) = \frac{S_x}{\sqrt{N}}\]

où :

\(S_x\) est l’écart-type expérimental (parfois noté \(\sigma_{n-1}\)),
\(N\) est le nombre de mesures.

L’écart-type expérimental et la moyenne sont calculés à la calculatrice, au tableur ou avec Python.

3️⃣ Ecriture du résultat:

On ne conserve qu’un seul chiffre significatif pour la valeur de l’incertitude (arrondie au supérieur).
La valeur mesurée \(m\) doit avoir le même nombre de décimales que l’incertitude \(u(x)\).

▶️ Capsule : Ecriture du résultat

III - Incertitude de type B⚓︎

A savoir

▶️ Capsule : Évaluation d’une incertitude de type B

Lors d’une mesure unique, la précision de l’appareil de mesure, la façon dont il est utilisé et la qualité du mesurage sont à prendre en compte : l’erreur correspondante est une erreur systématique et l’incertitude associée est dite de type B.

L’évaluation repose sur des informations externes :

spécifications du fabricant (précision, tolérance, etc.),
expérience ou jugement de l’expérimentateur,
conditions liées à l’environnement (température, pression, humidité, etc.).

Quelques règles pratiques :

Avec une règle graduée : \(u =0,5 \times\) la plus petite division.
Avec une éprouvette graduée : \(u =0,5 \times\) la plus petite division.
Avec une pipette : \(u =0,05\text{mL}\).
Avec une burette standard : \(u = 0,1\text{mL}\).
Avec une balance :
- \(u = 0,1 \text{g}\) si la résolution est de \(0,1 \text{g}\).
- \(u = 0,01 \text{g}\) si la résolution est de \(0,01 \text{g}\).
Avec un chronomètre numérique : \(u = 0,01 \text{s}\) (si la résolution est de \(0,01\text{s}\)).

En résumé : pour estimer une incertitude de type B, on prend la moitié de la plus petite division de l’instrument (ou la résolution indiquée).

IV - Incertitudes composées⚓︎

A savoir

▶️ Capsule : Un exemple de calcul

Quand on calcule une grandeur \(R\) à partir de plusieurs mesures, il faut prendre en compte les incertitudes de chaque mesure pour connaître celle du résultat : c’est l’incertitude composée.

Exemple :

si \(R = \frac{a \times b}{c}\)

alors \(u(R) = R \times \sqrt{\left(\frac{u(a)}{a}\right)^2 + \left(\frac{u(b)}{b}\right)^2 + \left(\frac{u(c)}{c}\right)^2}\)

En fonction du cas rencontré la formule de calcul sera donnée.

IV - Incertitudes composées⚓︎

A savoir

Pour comparer une mesure \(X\) d’incertitude \(u(X)\) avec une valeur de référence \(x_\text{ref}\), on utilise le z-score :

\(z = \frac{|x_\text{ref} - X|}{u(X)}\)

Si \(z \leq 2\) alors la mesure est compatible avec la valeur de référence.
Si \(z > 2\) alors la mesure n’est pas compatible.

▶️ Capsule : Un exemple de calcul du z-score