Chapitre 21 : Circuits RC - charge, décharge d'un condensateur 🔋⚡

I - L'intensité du courant électrique 🔄⚡

A savoir

L'intensité d'un courant électrique correspond à la quantité de charge électrique \(Q\) qui traverse une section de conducteur (Ex : le fil électrique) pendant une durée \(\Delta t\) : c'est un débit de charges électriques.

• En régime permanent (intensité constante), l'intensité s'écrit donc :

\[I = \dfrac{Q}{\Delta t}\]

• En régime variable, l'intensité dépend du temps et on l'écrit : \(i(t)\). Pendant une durée très courte \(dt\), une charge électrique infinitésimale \(dq\) traverse une section de conducteur.

L'intensité est donc la dérivée de la charge par rapport au temps :

\[i = \dfrac{dq}{dt}~~\text{ou}~~i(t) = \dfrac{dq(t)}{dt}\]

Sens conventionnel du courant d'intensité \(i\) et débit d'électrons en déplacement dans un fil électrique

Remarque 📝

Dans la suite du cours, toutes les grandeurs qui dépendent du temps sont notées en lettres minuscules. L'indication « \((t)\) » sera omise pour alléger les notations lors des calculs ; par exemple, \(u_C\) représente \(u_C(t)\).

II - Qu'est-ce qu'un condensateur 🔋⚙️

A savoir

Un condensateur est un dipôle composé de deux surfaces conductrices en regard, appelées armatures, et séparées par un isolant (appelé diélectrique). Il en existe de formes et de tailles différentes.

Symbole dans un circuit normalisé :

Condensateurs de formes et de technologies différentes, et symbole normalisé

Le condensateur a un comportement capacitif : lorsqu'il est soumis à une tension, il est capable d'accumuler des charges de signes opposés sur ses armatures en regard. Un champ électrique apparait alors entre les armatures (qui permet alors de faire accélérer des particules, vous vous en souvenez ?)

La charge totale \(Q\) portée sur une armature est alors proportionnelle à la tension \(u_C\) à ses bornes :

\[q = C \times u_C\]

\(C\) est la « capacité », exprimée en Farad (F), qui représente la faculté du condensateur à accumuler et stocker des charges sur ses armatures. L'ordre de grandeur de la capacité est généralement de l'ordre du nF ou du μF.

La capacité d'un condensateur :

• est proportionnelle à la surface \(S\) des armatures

• est inversement proportionnelle à la distance \(d\) qui les sépare

• dépend de la nature de l'isolant entre les plaques.

III - Un peu de mathématiques 📐➗

A savoir

Les solutions d'une équation différentielle du type \(y' = a \cdot y + b\) sont de la forme :

\[y = k \cdot e^{a \cdot x} - \dfrac{b}{a}\]

En physique pour la charge ou la décharge d'un condensateur, l'équation sera de la forme \(\dfrac{du_C}{dt} = a \cdot u_C + b\) où :

• \(\dfrac{du_C}{dt}\) correspond à \(y'\)

• \(u_C\) correspond à \(y\)

• La variable n'est plus \(x\) mais le temps \(t\)

Les solutions seront donc de la forme :

\[u_C(t) = k \cdot e^{a \cdot t} - \dfrac{b}{a}\]

Les constantes \(k\), \(a\) et \(b\) dépendent des conditions de l'expérience.

IV - Modèle du circuit RC en série 🔌📈

A savoir

Le « dipôle RC » correspond à l'association en série d'un dipôle ohmique de résistance \(R\) et d'un condensateur de capacité \(C\).

1. Cas de la charge du condensateur 🔼

Le condensateur, initialement déchargé (\(u_C(0) = 0~\text{V}\)), est soumis à une tension \(E\) grâce à un générateur : le condensateur se charge.

Schéma du circuit RC en charge

a) Établissement de l'équation différentielle de la décharge

• Selon la loi des mailles on a : \(u_R + u_C = E\)

• En appliquant la loi d'ohm on trouve que : \(u_R = R \cdot i\)

• Donc : \(u_R + u_C = E~~\Rightarrow~~R \cdot i + u_C = E\)

• Or \(i = \dfrac{dq}{dt} = \dfrac{d(C \cdot u_C)}{dt} = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}\)

• Donc : \(R \cdot i + u_C = E~~\Rightarrow~~R \cdot C \cdot \dfrac{du_C}{dt} + u_C = E\)

• Finalement on obtient l'équation différentielle :

\[\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{1}{RC} \cdot u_C + \dfrac{E}{R \cdot C}\]

On peut également écrire cette équation sous la forme : \(\dfrac{du_C}{dt} = a \cdot u_C + b\) avec \(a = -\dfrac{1}{RC}\) et \(b = \dfrac{E}{R \cdot C}\)

b) Résolution de l'équation différentielle

• La solution de l'équation différentielle est de la forme : \(u_C = k \cdot e^{a \cdot t} - \dfrac{b}{a}\) (voir point Math)

• On trouve donc que \(u_C = k \cdot e^{-\frac{t}{RC}} + E\)

• On détermine la constante \(k\) grâces aux conditions initiales : on saite que à \(t=0\) alors \(u_C = 0~\text{V}\)

\[u_C(0) = k \cdot e^{-\frac{1}{RC} \cdot 0} + E = 0~~\Rightarrow~~k = -E\]

• La solution de l'équation différentielle devient donc :

\[u_C(t) = -E \cdot e^{-\frac{t}{RC}} + E = -E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}} + E = E \left(1 - e^{-\frac{t}{\tau}}\right)~~\text{avec}~~\tau = R \cdot C\]

c) Représentation graphique de l'évolution de la tension aux bornes du condensateur lors de la charge

Évolution de la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur lors de la charge - régimes transitoire et stationnaire

2. Cas de la décharge du condensateur 🔽

Le condensateur, initialement chargé (\(u_C(0) = E\)), se décharge lorsqu'on ferme le circuit.

Schéma du circuit RC en décharge

a) Etablissement de l'équation différentielle de la décharge

• Selon la loi des mailles on a : \(u_R + u_C = 0\)

• En appliquant la loi d'ohm on trouve que : \(u_R = R \cdot i\)

• Donc : \(u_R + u_C = 0~~\Rightarrow~~R \cdot i + u_C = 0\)

• Or \(i = \dfrac{dq}{dt} = \dfrac{d(C \cdot u_C)}{dt} = C \cdot \dfrac{du_C}{dt}\)

• Donc : \(R \cdot i + u_C = 0~~\Rightarrow~~R \cdot C \cdot \dfrac{du_C}{dt} + u_C = 0\)

• Finalement on obtient l'équation différentielle :

\[\dfrac{du_C}{dt} = -\dfrac{1}{RC} \cdot u_C\]

On peut également écrire cette équation sous la forme : \(\dfrac{du_C}{dt} = a \cdot u_C + b\) avec \(a = -\dfrac{1}{RC}\) et \(b = 0\)

b) Résolution de l'équation différentielle

• La solution de l'équation différentielle est de la forme : \(u_C = k \cdot e^{a \cdot t} - \dfrac{b}{a}\) (voir point Math)

• On trouve donc que \(u_C = k \cdot e^{-\frac{t}{RC}}\)

• On détermine la constante \(k\) grâces aux conditions initiales : on saite que à \(t=0\) alors \(u_C = E\)

\[u_C(0) = k \cdot e^{-\frac{1}{RC} \cdot 0} = E~~\Rightarrow~~k = E\]

• La solution de l'équation différentielle devient donc :

\[u_C(t) = E \cdot e^{-\frac{t}{RC}} = E \cdot e^{-\frac{t}{\tau}}~~\text{avec}~~\tau = R \cdot C\]

c) Représentation graphique de l'évolution de la tension aux bornes du condensateur lors de la décharge

Évolution de la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur lors de la décharge - régimes transitoire et stationnaire

3. Temps caractéristique : τ ⏱️

Dans les deux cas (charge et décharge), la solution de l'équation fait apparaître un terme dépendant des valeurs de \(R\) et de \(C\) : on appelle cette constante « le temps caractéristique OU constante de temps », elle a la dimension d'un temps, et se calcule par :

\[\tau = R \cdot C~~\left\{\begin{array}{l}{R,~\text{résistance (Ohm } \Omega \text{)}}\\ {C,~\text{capacité (F)}} \\ {\tau~\text{(s)}}\end{array}\right.\]

\(\tau\) permet de déterminer la durée de la charge ou de la décharge d'un dipôle RC : en effet, pour une durée de 5τ, la tension \(u_C\) a atteint sa valeur finale (\(E\) en charge ou \(0\) en décharge) avec un écart de moins de 1%.

Le régime variable, appelé transitoire, est alors considéré comme terminé et il est remplacé par le régime permanent stationnaire (\(u_C\) et \(i\) sont devenues constantes). (voir graphes précédents)

Il existe plusieurs méthodes graphiques pour déterminer le temps caractéristique :

Méthodes graphiques pour déterminer le temps caractéristique τ lors de la charge et de la décharge

V - Capteurs capacitifs 📱👆

A savoir

Il s'agit d'appareils utilisant un condensateur et son effet capacitif pour mesurer une grandeur physique, comme une masse, un déplacement ou une force par exemple.

Exemple :

Dans les écrans de smartphone ou tablette, une couche qui accumule les charges, à base d'indium, métal de plus en plus rare, est placée sur la plaque de verre du moniteur. Lorsque l'utilisateur touche la plaque avec son doigt, certaines de ces charges lui sont transférées. Les charges qui quittent la plaque capacitive créent un déficit mesurable. Avec un capteur à chacun des coins de la plaque, il est possible à tout moment de mesurer et de déterminer les coordonnées du point de contact.

Lors d'un contact avec un doigt, l'écran tactile se décharge localement. Cet effet permet de repérer la position du contact.